Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Geometrie
4. Modellierungsstrategien
5. Datenaustausch
6. Simulation
7. Optimierung
8. Fertigung

Geometrie II: Freiformkurven und Flächen

• Motivation: Beispiel Wendelstein 7-X
• Freiformkurven (1D): Bézier, B-Spline, NURBS (inkl. Stetigkeitsbedingungen)
• Flächen (2D): analytisch, Sweep-Flächen, NURBS-Flächen

Beispiel: Plasmagefäß für Wendelstein 7-X

Mathematische Beschreibung der Plasmagrenzfläche

import numpy as np

R_mn = np.array([[0, 0, 5.559], [1, 0, 0.491],
    [0, 5, 0.264], [1, 5, -0.251], [2, 10, 0.064]])
Z_mn = np.array([[1, 0, 0.620], [0, 5, -0.238],
    [1, 5, 0.179], [2, 10, -0.056]])

def R(theta, phi):
    return sum(c * np.cos(m*theta - n*phi) for m, n, c in R_mn)

def Z(theta, phi):
    return sum(c * np.sin(m*theta - n*phi) for m, n, c in Z_mn)

Darstellung der Grenzfläche

Erzeugung der kartesischen Koordinaten

n_t = n_p = 100
# n_t x n_p Arrays
theta, phi = np.meshgrid(np.linspace(0, 2*np.pi, n_t), np.linspace(0, 2*np.pi, n_p))
r = R(theta, phi)
z = Z(theta, phi)
x, y = r * np.cos(phi), r * np.sin(phi)

Plot mit Plotly

import plotly.graph_objects as go

fig = go.Figure(go.Surface(x=x, y=y, z=z, colorscale="Viridis", showscale=False))
fig.update_layout(scene=dict(aspectmode="data"))

Grobes Gitter,

Feines Gitter,

W7-X: CAD-Geometrie des Plasmagefäßes

Vorgehen:

1. Plasma-Querschnitt : -Punkte → geschlossener Kurve (Spline)
2. Loft einer halben Feldperiode → Solid
3. Versatz der Mantelfläche um nach außen → Gefäßwand

Schritt 1: Querschnitt als Spline

import build123d as bd
from ocp_vscode import show

def make_section(phi_val, n=25):
    theta = np.linspace(0, 2*np.pi, n, endpoint=False)
    r = R(theta, phi_val);  z = Z(theta, phi_val)
    x, y = r * np.cos(phi_val), r * np.sin(phi_val)
    points = [bd.Vertex(1e3 * xi, 1e3 * yi, 1e3 * zi) for xi, yi, zi in zip(x, y, z)]
    spline = bd.Spline(*points, periodic=True)
    return points, spline

phi_values  = np.linspace(0, 2*np.pi/10, 10)
show([make_section(phi) for phi in phi_values])

• periodic=True → geschlossene Kurve ohne Knick am Anfangspunkt
• Rückgabe: Edge (ein einzelner Spline-Bogen)

Schritt 2: Loft einer halben Feldperiode

W7-X hat 5-fache toroidale Symmetrie mit Spiegelsymmetrie pro Periode

→ Halbe Periode

phi_values  = np.linspace(0, 2*np.pi/10, 20)
sections    = [bd.Wire([make_section(phi)[1]]) for phi in phi_values]
plasma = bd.Solid.make_loft(sections)
show(plasma)

• sections: Liste von Wire-Objekten (hier: je ein Spline)
• make_loft → erzeugt eine durch die sections verlaufende Fläche (Loft)
• [e.geom_type for e in plasma.faces()] → [BSPLINE, PLANE, PLANE]

Schritt 3: Gefäßwand mit offset_3d

# Planare Deckelflächen als "Öffnungen" → offset_3d erzeugt eine Schale
caps = plasma.faces().filter_by(bd.GeomType.PLANE)
wall = plasma.offset_3d(caps, 200)

# Nur die äußere Versatzfläche behalten
vessel_face = wall.faces().filter_by(bd.GeomType.OFFSET)
show(plasma, vessel_face, names=["Plasmaoberfläche", "Gefäßwand"])

• offset_3d(openings, amount) → hält die openings-Flächen offen, versetzt alle anderen um amount
• [e.geom_type for e in wall.faces()] → [BSPLINE, PLANE, OFFSET, PLANE]
• .filter_by(GeomType.OFFSET) → selektiert die neu entstandene Außenfläche

Freiformkurven

Motivation: Grenzen analytischer Kurven

Wie beschreibt man eine freie Kurve mathematisch?

Analytische Kurven aus Teil 1 (Linie, Kreis, Ellipse, Kegelschnitte) haben eine feste Form – ihre Gleichung bestimmt den Kurvenverlauf vollständig, freie Formgebung ist nicht möglich.

Das W7-X-Beispiel vom Beginn dieser Vorlesung illustriert das: Der Querschnitt des Plasmabehälters lässt sich durch keinen analytischen Kurventyp ausdrücken.

→ Wir brauchen Freiformkurven: flexibel formbar, lokal steuerbar, für beliebige Geometrie geeignet.

Wiederholung: Parametrische Kurven

Eine parametrische Kurve bildet einen Parameter auf einen Punkt im Raum ab:

Vorteile der Parameterdarstellung:

• Punkte, Tangenten, Krümmung durch einfache Ableitungen ,
• Einfach zu verkürzen und einen Punkt auf der Kurve zu finden

Warum Polynome?

Eine Kurve ist eine Funktion – aber welche Funktion wählt man?

→ Alle Freiformkurven in CAD (Bézier, B-Spline, NURBS) basieren auf stückweisen Polynomen niedrigen Grades.

Kurven in Potenzbasis

Der naheliegende Ansatz: Koordinaten als Polynome in ,

Probleme der Potenzbasis:

• Kein geometrischer Bezug: Die Koeffizienten haben keine anschauliche Bedeutung – man kann den Kurvenverlauf nicht aus ihnen ablesen
• Numerische Empfindlichkeit: Bei hohen Graden reagiert die Kurvenform sehr sensibel auf kleine Änderungen einzelner Koeffizienten
• Schlechte Interaktivität: Um eine Kurve zu ändern, muss man ein Gleichungssystem lösen

→ Gesucht: eine Basis, deren Parameter direkt geometrische Bedeutung haben.

Pierre Bézier

Anfang der 1960er Jahre bei Renault:

• Ziel: Karosserie-Design am Computer
• 1962 publiziert
• CAD-System: UNISURF (1968)

Idee: Kontrollpunkte, die die Kurve anziehen – geometrisch intuitiv, numerisch stabil.

Bézier-Kurven: Formel

• : Kontrollpunkte (bilden das Kontrollpolygon)
• : Bernstein-Basisfunktionen – nicht-negativ,
• Grad = Anzahl Kontrollpunkte

Geometrische Interpretation:
ist stets eine Konvexkombination der Kontrollpunkte → die Kurve liegt immer innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons.

Bézier-Kurven: Grade 1, 2 und 3

Eigenschaften:

• Kurve läuft durch und
• Tangente in : Richtung
• Kurve liegt in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte

Interaktives Applet (GeoGebra)

Bézier: Warum reicht das nicht für CAD?

Bézier ist ein konzeptioneller Zwischenschritt – elegant und lehrreich, für reale CAD-Geometrie aber nicht ausreichend.

• Polynomgrad wächst mit Anzahl der Kontrollpunkte: 20 Punkte → Grad 19 → numerisch instabil
• Jeder Kontrollpunkt beeinflusst die gesamte Kurve – keine lokale Kontrolle

Erster Schritt zur Lösung: Kurve in mehrere Segmente aufteilen – jedes ein Bézier-Stück niedrigen Grades.

→ Aber wie glatt müssen diese Verbindungen sein?

Stetigkeitsbedingungen

Beim Verbinden mehrerer Kurvenabschnitte bestimmt die Anschlussbedingung die wahrgenommene Qualität:

: -te Ableitung von stetig (abh. von Parametrisierung)
: geometrisch stetig, unabh. von Parametrisierung

Stetigkeitsbedingungen: Warum C² wichtig ist

(glatte Tangente) klingt ausreichend – reicht aber oft nicht:

Typische Anforderungen in der Praxis:

• : Boolesche Operationen (scharfe Kante erwünscht)
• : fillet / Verrundung, Standard-Übergänge
• : Karosseriedesign, aerodynamische Flächen, Medizinprodukte

Stückweise Bézier – warum nicht?

Mehrere Bézier-Segmente mit verbinden: geht, kostet aber viele Bedingungen.

Bei zwei kubischen Bézier-Stücken und am Verbindungspunkt:

Interaktives Applet (GeoGebra)

→ Bei sind an jedem Verbindungspunkt 3 von 4 Kontrollpunkten abhängig – bei vielen Segmenten ineffizient.

Gesucht: -Stetigkeit automatisch, ohne Gleichungssystem.

B-Spline-Kurven: Grundidee

Eine einzige Formel für die gesamte Kurve – kein separates Stück pro Segment:

Der Knotenvektor teilt in Polynomstücke auf:

u:   t₀────t₁────t₂────t₃────t₄────t₅
         Seg.1  Seg.2  Seg.3  Seg.4

• Kontrollpunkte, Ordnung (= Grad + 1), z. B. für kubisch
• Die Basisfunktionen sorgen automatisch für Stetigkeit an den Knoten

B-Spline-Basisfunktionen: Grad 0 und 1

Grad 0 – Startpunkt der Rekursion, Rechteckfunktion:

Grad 1 – explizit durch Einsetzen in die Rekursion:

Linear ansteigend, dann linear abfallend – eine Hutfunktion über zwei Spannen, an den Knoten.

B-Spline-Basisfunktionen: höhere Grade (Cox–de Boor)

Höhere Grade entstehen durch Rekursion über den Grad:

Jede Stufe: eine Spannen breiterer Träger, eine Stufe mehr Stetigkeit:

→ Kubische B-Splines () sind der CAD-Standard: ist eingebaut, kein Gleichungssystem nötig.

B-Spline: lokaler Träger = lokale Kontrolle

Da nur auf Spannen ungleich null ist, beeinflusst nur diesen Bereich der Kurve:

B-Spline: interaktive Visualisierung

Eine einzelne kubische Basisfunktion (Grad 3, Ordnung ) als Funktion von :

• Träger: 5 Knoten → 4 Spannen ( Spannen, da Ordnung )
• Knotenabstände sind verschiebbar → Form der Basisfunktion ändert sich
• Bei gleichmäßigen Knoten (): symmetrische Glockenform

Analogie: ist das B-Spline-Äquivalent zur Bernstein-Basisfunktion bei Bézier – aber mit lokalem Träger statt globalem.

Interaktives Applet (GeoGebra)

Knotenvielfachheit

Ein Knoten darf im Knotenvektor mehrfach vorkommen. Die Vielfachheit steuert die Stetigkeit an diesem Knoten:

Anwendungen:

• Anfangs-/Endknoten: Vielfachheit → Kurve startet/endet exakt im ersten/letzten Kontrollpunkt (clamped B-Spline)
• Scharfe Kante: lokale Vielfachheit → gezielter Knick in der Kurve
• Bézier-Extraktion: Vielfachheit an allen inneren Knoten → stückweise Bézier-Darstellung

NURBS: Warum?

Kann ein B-Spline einen perfekten Kreis darstellen?

Antwort: Nein – B-Splines sind stückweise Polynome, Kreise sind trigonometrisch. Ein B-Spline kann einen Kreis nur annähern, nie exakt darstellen.

Das zeigt: B-Splines sind nicht allgemein genug für alle Kurvenformen.

Hinweis: OCCT speichert Kreise intern trotzdem als CIRCLE (analytisch, exakt) – nicht als B-Spline. Aber: CAD-Systeme, die intern nur eine Kurvenart verwenden, brauchen eine Darstellung, die auch Kreise exakt abdeckt.

→ Lösung: Gewichte hinzufügen → NURBS kann Kreise, Kegelschnitte und Freiformkurven in einem Format darstellen.

Warum kein Polynom für den Kreis?

Ein B-Spline ist stückweise polynomial:

Sind , Polynome vom Grad , so ist ein Polynom vom Grad .

Dieses kann nur dann für alle konstant gleich sein, wenn alle nicht-konstanten Terme verschwinden – d. h. und wären konstant. Widerspruch.

Ein B-Spline kann einen Kreis nur annähern, niemals exakt darstellen.

NURBS: rationale Parametrisierung des Kreises

Rationale Funktionen (Quotient zweier Polynome) umgehen dieses Problem:

Viertelkreis als quadratische NURBS (exakt):

Das reduzierte Gewicht „zieht" die Kurve vom Kontrollpunkt weg – genau so, dass der Kreisbogen entsteht.

NURBS – Non-Uniform Rational B-Splines

Erweiterung des B-Spline um Gewichte :

• für alle → normaler B-Spline (Spezialfall)
• Größeres → Kurve nähert sich stärker dem Kontrollpunkt

Entscheidender Vorteil:

B-Spline kann Kreise und Kegelschnitte nur annähern.
NURBS stellt sie exakt dar.

NURBS: die universelle Darstellung

Linie / Kreis ⊂ Bézier ⊂ B-Spline ⊂ NURBS

Alle analytischen Kurven sind Spezialfälle von NURBS – daher ist NURBS der einheitliche Standard in industriellen CAD-Systemen (CATIA, SolidWorks, NX, OCCT).

Beim Import aus STEP: Freiformkurven erscheinen als BSPLINE, auch wenn sie ursprünglich Kreise waren – je nach exportierendem System.

Übung: Spline vs. Polyline

Datei: praktikum_stetigkeit.py – Aufgabe 1

Erzeuge dieselben 5 Punkte einmal mit Spline und einmal mit Polyline. Gib geom_type aller Kanten aus:

punkte = [(0,0,0),(10,15,0),(25,5,0),(40,20,0),(50,0,0)]
with bd.BuildLine() as bl_spline:
    bd.Spline(*punkte)
with bd.BuildLine() as bl_poly:
    bd.Polyline(*punkte)
print([e.geom_type for e in bl_spline.edges()])
print([e.geom_type for e in bl_poly.edges()])

Füge danach tangents=[(1,0,0),(0,-1,0)] hinzu – ändert sich der geom_type?

Übung: fillet als Flächenerzeuger

Datei: praktikum_stetigkeit.py – Aufgabe 2

box = bd.Box(50, 30, 20)
box_f = bd.fillet(box.edges(), 3)
print(set(f.geom_type for f in box.faces()))
print(set(f.geom_type for f in box_f.faces()))

Welche geom_type-Werte erscheinen neu? Warum auch SPHERE?

Flächen

Parametrische Flächen: Wiederholung

Jede Fläche ist eine Funktion von zwei Parametern und :

Jede Face in einem B-Rep-Modell trägt eine solche parametrische Fläche.

Analytische Flächen

Exakt durch eine geschlossene Formel beschreibbar:

Für Standardkörper reichen analytische Flächen vollständig aus.

Sweep-Flächen

Entstehen durch Bewegung eines Profils entlang einer Leitkurve:

Das Eingangsprofil bestimmt die Komplexität der Ausgabefläche.

NURBS-Flächen

Verallgemeinerung der NURBS-Kurve auf zwei Parameter:

• Kontrollpunktnetz : 2D-Gitter statt 1D-Liste
• Spezialfall : Nenner = 1 (da ) → B-Spline-Fläche
• In OCCT: geom_type == 'BSPLINE' gilt für beide Fälle – B-Spline und NURBS sind dieselbe Klasse

Anwendungen: Karosserie, Strömungsflächen, Tragflügel, Medizinprodukte, ...

Stetigkeitsbedingungen bei Flächen

Dieselben Bedingungen wie bei Kurven, jetzt für aneinanderstoßende Flächen:

In build123d:

• fillet(edges, radius) → an der Kante
• Verbindungsflächen zwischen Loft-Profilen → je nach Einstellung bis

W7-X: Die BSPLINE-Mantelfläche und die OFFSET-Gefäßwand stoßen an den Deckeln auf PLANE-Flächen – dort ist nur garantiert (scharfe Kante).

Übung: Loft → NURBS-Fläche

Datei: praktikum_stetigkeit.py – Aufgabe 3

Lofte von einem Kreis (unten) auf ein Rechteck (oben):

kreis = bd.Wire([bd.Edge.make_circle(10)])
# ... Rechteck in 40 mm Höhe ...
loft = bd.Solid.make_loft([kreis, rechteck])
print(set(f.geom_type for f in loft.faces()))

Warum erscheint kein CIRCLE in den Flächen?

Zusammenfassung

Kernkonzepte dieser Vorlesung

Freiformkurven:

Bézier (global) → B-Spline (lokal) → NURBS (+ Gewichte, universell)

• NURBS ist der Standard: kann Linien, Kreise und Freiformkurven in einem Format darstellen
• Lokale Modifikation: Kontrollpunkt beeinflusst nur benachbarte Segmente

Stetigkeitsbedingungen: (kein Spalt) → (glatt) → (reflexionsglatt)

Flächen:

• Analytisch: Ebene, Zylinder, Kegel, Kugel, Torus
• Sweep-Flächen: Extrusion, Rotation, Sweep, Loft
• NURBS-Flächen: universelle Freiformflächen

Ausblick: Modellierungsstrategien

In der nächsten Einheit: Wie baut man komplexe Modelle systematisch auf?

• Parametrische Konstruktionsstrategie (Feature-Baum)
• Boolesche Operationen und ihre Reihenfolge
• Robuste Selektoren und parametrische Abhängigkeiten
• Wiederverwendbare Komponenten und Baugruppen